Piyasa yapıcılığın matematiği: envanter riski ve kotasyon

Bir piyasa yapıcının işi, kâğıt üzerinde basittir: alış ve satış tarafında aynı anda kotasyon verir, makası kazanır. Pratikte ise asıl soru şudur: elinizde istemediğiniz bir envanter birikirken fiyatları nereye koymalısınız?

Sorun: makas gelir, envanter risktir

Ortadan simetrik kotasyon veren bir piyasa yapıcı, iki taraflı akış dengeliyse makası kazanır. Ama akış nadiren dengelidir. Fiyat yükselirken alıcılar satış kotasyonunuzu, düşerken satıcılar alış kotasyonunuzu vurur. Sonuçta piyasa size karşı hareket ederken envanter birikir. Kazandığınız makas, envanterin taşıdığı fiyat riskinin yanında küçük kalabilir.

Bu yüzden iyi bir kotasyon stratejisi iki soruyu birlikte cevaplamalıdır: makas ne kadar geniş olmalı, ve kotasyonun merkezi envantere göre nereye kaymalı?

Avellaneda–Stoikov çerçevesi

Marco Avellaneda ve Sasha Stoikov'un 2008 tarihli çalışması bu soruya kapalı biçimli bir cevap verir. Model şu varsayımlara dayanır:

• Orta fiyat s, oynaklığı σ olan bir rastgele yürüyüş izler.
• Kotasyonunuz orta fiyattan δ kadar uzaktaysa, karşı taraftan emir gelme yoğunluğu λ(δ) = A·e−kδ biçiminde azalır. Uzaklaştıkça daha az işlem alırsınız.
• Piyasa yapıcı riskten kaçınır; riskten kaçınma katsayısı γ, işlem ufku T, elindeki envanter q'dur.

Rezervasyon fiyatı

Modelin ilk sonucu, kotasyonların orta fiyat etrafında değil, rezervasyon fiyatı etrafında verilmesi gerektiğidir:

Uzun envanteriniz varsa (q > 0) rezervasyon fiyatı orta fiyatın altına iner: satmaya daha istekli, almaya daha isteksiz hâle gelirsiniz. Kaymanın büyüklüğü envanterle, riskten kaçınmayla, oynaklığın karesiyle ve kalan süreyle orantılıdır. Oynak bir piyasada ya da seansın başında aynı envanter çok daha büyük bir kayma gerektirir.

Optimal makas

İkinci sonuç, iki kotasyon arasındaki toplam mesafedir:

İlk terim envanter riskinin bedelidir; oynaklık ve kalan süre arttıkça makas açılır. İkinci terim emir akışının yapısından gelir: k büyükse, yani akış fiyata duyarlıysa, makası daraltmak gerekir, çünkü biraz uzaklaşmak bile işlem kaybettirir.

Alış ve satış kotasyonları, rezervasyon fiyatının iki yanına bu makasın yarısı kadar yerleştirilir.

Sayısal bir örnek

Orta fiyatı 100 TL olan bir enstrüman düşünelim. Parametreler temsilîdir: γ = 0,1, σ = 0,5 (TL / √seans), k = 15, kalan süre bir seans. Envanter q, örneğin bin lotluk birimlerle ölçülsün.

Bu değerlerle toplam makas yaklaşık 0,158 TL, yarı makas 0,079 TL olur. Rezervasyon fiyatındaki kayma ise envanterin her birimi için 0,025 TL'dir.

Dikkat çekici olan son satırdır: beş birim uzun envanterle satış kotasyonu 99,954 TL'ye, yani orta fiyatın altına iner. Model, envanteri eritmek için makasın bir kısmından vazgeçmeyi açıkça önerir.

Modelden sahaya: dikkat edilmesi gerekenler

1. Seans sonu ufku

Formüldeki T − t terimi, seans sonuna yaklaştıkça envanter cezasını azaltır. Gece pozisyon taşımayan bir piyasa yapıcı için bu ters bir sonuçtur; seans sonunda envanteri sıfırlamak gerekir. Pratikte sabit bir ufuk kullanılır ya da Guéant, Lehalle ve Fernandez-Tapia'nın (2013) envanter sınırlı ve sonsuz ufuklu yaklaşımları tercih edilir.

2. Fiyat adımı

Model sürekli fiyat varsayar, borsalar ise fiyat adımlarıyla çalışır. Makas birkaç fiyat adımı genişliğindeyse, rezervasyon fiyatındaki kayma çoğu zaman bir adımın altında kalır ve yuvarlama, modelin söylediğini siler. Böyle durumlarda envanter yönetimi fiyat yerine kotasyon miktarı üzerinden yapılır: fazla taşıdığınız tarafta daha büyük, diğer tarafta daha küçük kotasyon verilir.

3. Bilgili akış

Modelde emirler fiyattan bağımsız gelir. Gerçekte ise kotasyonunuzu vuran emirlerin bir kısmı, fiyatın nereye gideceğini sizden önce bilen katılımcılardan gelir. Bu ters seçim, makasın modelin önerdiğinden geniş tutulmasını ve emir akışının sürekli ölçülmesini gerektirir.

4. Yükümlülükler

Likidite sağlayıcılık ve piyasa yapıcılık sözleşmeleri genellikle azami makas, asgari miktar ve kotasyonda kalma süresi gibi yükümlülükler içerir. Modelin önerdiği makas izin verilenden genişse, sınır bağlayıcı hâle gelir. Bu durumda optimizasyon, yükümlülük kısıtı altında yeniden kurulmalıdır; envanter riski ise miktar ayarı ve ilişkili bir enstrümanda korunma ile yönetilir.

Sonuç

Avellaneda–Stoikov modeli tek başına bir işlem stratejisi değildir, ama piyasa yapıcılığın temel gerilimini, makas geliri ile envanter riski arasındaki dengeyi, tek bir parametreyle (γ) ayarlanabilir hâle getirir. Sahadaki iş, bu çerçeveyi fiyat adımı, bilgili akış ve yükümlülüklerle uyumlu hâle getirmektir.

Kaynaklar

• Avellaneda, M. ve Stoikov, S. (2008). High-frequency trading in a limit order book. Quantitative Finance, 8(3), 217–224.
• Guéant, O., Lehalle, C.-A. ve Fernandez-Tapia, J. (2013). Dealing with the inventory risk: a solution to the market making problem. Mathematics and Financial Economics, 7(4), 477–507.

Bu yazı genel bilgilendirme amaçlıdır ve yatırım tavsiyesi değildir. Sayısal örnekler temsilîdir.